Matemática discreta Ejemplos

$y = - \frac{4}{5} x + 2$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - \frac{4}{5} y + 2$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{4}{5} y + 2 = x$ .

$- \frac{4}{5} y + 2 = x$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $y$ y $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{5} + 2 = x$

Paso 2.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{4 y}{5} + 2 = x$

Paso 2.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{4 y}{5} = x - 2$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1.1

Simplifica $- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5})$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$\frac{- 5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 y}{5}$ al numerador.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.1.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.3

Multiplica.

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Paso 2.5.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $- \frac{5}{4} (x - 2)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 2$

Paso 2.5.2.1.1.2

Combina $x$ y $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 2$

Paso 2.5.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot - 2$

Paso 2.5.2.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 (2)} \cdot - 2$

Paso 2.5.2.1.1.3.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.5.2.1.1.3.4

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.5.2.1.1.3.5

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Paso 2.5.2.1.1.4

Combina $\frac{- 5}{2}$ y $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.5.2.1.1.5

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 2.5.2.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4}{5} x + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Combina $x$ y $\frac{4}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 4}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4 \cdot x}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $- \frac{4 x}{5} + 2$ .

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Paso 4.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- \frac{4 x}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1))}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 \cdot (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + 1)}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + \frac{5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (\frac{- 2 x + 5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.2

Combina $10$ y $\frac{- 2 x + 5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.3.1

Reduce la expresión $\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.3.1.1

Factoriza $5$ de $10 (- 2 x + 5)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.3.1.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 (1)}}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 \cdot 1}}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{2 (- 2 x + 5)}{1}}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.3.2

Divide $2 (- 2 x + 5)$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{4} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{- 2 x + 5}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x + 5) + 5}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

Paso 4.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Paso 4.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.6.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 5 + 5$ .

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Paso 4.2.6.1.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 4.2.6.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) + 2$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 x}{4}$ al numerador.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.2.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.2.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - 1 (- x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = 1 x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.6.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 (- 2)}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 \cdot - 2}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Paso 4.3.3.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

Paso 4.3.3.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

Paso 4.3.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - 2 + 2$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$